姿态与轨道动力学笔记
圆锥曲线轨道轨道六根数指:半长轴(a)、偏心率(e),轨道倾角(i),升交点赤经($\Omega$)、近地点幅角($\omega$)、真近点角($\phi$)。其它参数:角动量 $\vec{h}$、半通径 $p$、远拱点 $r_a$、周期 $T$。 \begin{aligned} \mathcal{E} =& -\frac{\mu}{2a}=\frac{v^2}{2}-\frac{\mu}{r} = \frac{v_{inf}^2}{2} \\ \vec{h} =& \vec{r}\times\vec{v} \\ |\vec{h}| =& |\vec{r}||\vec{v}|\sin\theta \\ a =& \frac{p}{1-e^2}=-\frac{\mu}{2\mathcal{E}} = \frac{\mu r}{2\mu-rv^2} \\ p =& \frac{h^2}{\mu} \\ \vec{e} =& \frac{\vec{v}\times\vec{h}}{\mu} - \frac{\vec{r ...
自用的概率论笔记
@[TOC] 随机事件 \begin{aligned} & A\cap B=AB,A\cup B=A+B \\ & P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) \\ & P(A-B)=P(A\overline{B}) \\ & P(A+B-C)\neq P(A-C+B),P(A+B-C)\neq P(A+(B-C)) \\ & P(A(B-C))\neq P(AB-AC) \\ \end{aligned}事件运算法则 \begin{aligned} & A+AB=A,A-B=A\overline{B} \\ & A(B+C)=AB+AC,A+BC=(A+B)(A+C) \\ & A+B+C=A+(B+C) \\ & \overline{A+B}=\overline{A}\overline{B},\overline{AB}=\overline{A}+\overline{B} \\ \end{aligned}独立$P(AB)=P(A)P(B)$,不相容$P(A+B)=P(A)+P(B)$,$AB=\emptyset$ 一元线性回归\begin{aligned} & y(n)=a^*x( ...
圆锥体转动惯量
设圆锥体的体积为 $V$,质量为 $M$,底面半径为 $R$,高为 $H$。 体积微元 \text dV=r\text dr\text dh\text d\theta体积 \begin{aligned} V =& \int_0^{2\pi}\int_0^H\int_0^{r(h)}r\text dr\text dh\text d\theta \\ =& 2\pi\int_0^H\int_0^{\frac RH(H-h)}r\text dr\text dh \\ =& 2\pi\int_0^H\frac 12\left(\frac RH(H-h)\right)^2\text dh \\ \xlongequal[h=Hx]{x=h/H} & \pi R^2\int_0^1(1-2x+x^2)H\text dx \\ =& \pi R^2H\left[x-x^2+\frac{x^3}{3}\right]_0^1 \\ =& \frac 13\pi R^2H \end{aligned}质心高度 \begin{aligned} z =& \frac{\int_0^{2\pi}\int_0^{H} ...
四元数、欧拉角、旋转矩阵笔记
四元数单位四元数 \begin{aligned} & Q=\left[\cos\frac\phi 2,i\sin\frac\phi 2,j\sin\frac\phi 2, k\sin\frac\phi 2\right] \\ \end{aligned}四元数性质 \begin{aligned} & q_aq_b=[s_a,\vec{a}][s_b,\vec{b}] =[s_as_b-\vec{a}\cdot\vec{b}, s_a\vec{b} + s_b\vec{a} + \vec{a}\times\vec{b}] \\ & q^{-1} = \frac{q^*}{|q|^2} \end{aligned}任意向量 $\vec{v}$ 沿着以单位向量定义的旋转轴 $\vec{u}$ 旋转 $\theta$ 度之后的 $\vec{v}’$ 可以使用四元数乘法来获得。令 $q_v=[0,\vec{v}]$,$q=[\cos\frac{\theta}{2},\sin\frac{\theta}{2}\vec{u}]$,那么 \vec{v}'=qq_vq^*四元数微分方程\begin{align ...
矩阵求导的几个实际应用例子
如果约定所有的向量均为列向量,那么我认为矩阵求导在实际使用中就没有必要讨论行布局或者列布局,因为导数的推导过程和结果就决定了矩阵求导公式是唯一的。大部分情况二阶矩阵或二维向量足以说明问题,剩下的到三阶也够了,不会出现低阶成立而高阶不成立的情况,所以下面举的例子均为三阶及以下。若无特别说明,细斜体(如$J$)表示标量,粗斜体小写(如$\boldsymbol{x}$)表示向量,粗正体大写(如$\mathbf{A}$)表示矩阵。 损失函数与梯度下降法 J=\frac{1}{2}(\boldsymbol{y}-\hat{\boldsymbol{y}}(\boldsymbol{x}))^{\top} (\boldsymbol{y}-\hat{\boldsymbol{y}}(\boldsymbol{x}))其中$J$是标量损失值,$\boldsymbol{x}$是待优化参数,其梯度下降法更新公式为 \boldsymbol{x}'=-\gamma\frac{\partial J}{\partial\boldsymbol{x}}为简化问题而可以令$\gamma=1$。$\hat{y} ...
任务切换的轨迹规划问题
摘要 \vec r(t)=\sqrt{x^2(t)+y^2(t)}\begin{aligned} \dot \\ \end{aligned}问题描述有4个坐标点,分别位于 $(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)$,现在需要为一个质点设计运动规划方法,使该质点依次穿过这4个坐标点,同时要求最大速度不超过5,最大加速度不超过1,也就是设计质点的运动参数方程 $x(t)$ 和 $y(t)$,使 $\vec r(t)=\sqrt{x^2(t)+y^2(t)}$ 满足<!— |\dot{\vec r}(t)|=\left|\frac{x\dot x+y\dot{y}}{\sqrt{x^2+y^2}}\right| \leq 5—> |\vec v(t)|=|\dot{\vec r}(t)|=\left|\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}\right| \leq 5|\vec a(t)|=|\ddot{\vec r}(t)|=\left|\sqrt{\ddot x^2+\ddot y^2}\right| \leq 1并且当 $t=t_1,t_2,t_f$ 时分 ...
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乐天斋
吾生梦幻间,何事绁尘羁
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