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三角函数

$\begin{aligned} & \sin x+\sin y= 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} \\ & \sin x-\sin y= 2 \cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2} \\ & \cos x+\cos y= 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} \\ & \cos x-\cos y=-2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2} \\ & \sin x \sin y=-\frac{1}{2}[\cos (x+y)-\cos (x-y)] \\ & \cos x \cos y= \frac{1}{2}[\cos (x+y)+\cos (x-y)] \\ & \sin x \cos y= \frac{1}{2}[\sin (x+y)+\sin (x-y)] \\ & \sin a=\frac{2 \tan \frac{\alpha}{2}}{1+\tan ^{2} \frac{\alpha}{2}} \\ & \cos \alpha=\frac{1-\tan ^{2} \frac{\alpha}{2}}{1+\tan ^{2} \frac{\alpha}{2}} \\ & \tan \alpha=\frac{2 \tan \frac{\alpha}{2}}{1-\tan ^{2} \frac{\alpha}{2}} \\ \end{aligned}$

多项式

$\begin{aligned} & (a+b)^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) \\ & (a+b)^n=\sum_{k=0}^nC_n^ka^kb^{n-k} \\ & a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=1}^na^{n-k}b^{k-1} \\ \end{aligned}$

韦达定理：设复系数一元n次方程$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0$的根为$x_1,x_2,\cdots,x_n$，则成立

$x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=\sum_{i=1}^{n} x_{i}=-\frac{a_{n-1}}{a_{n}} \\ x_{1} x_{2} \cdots x_{n}=\prod_{i=1}^{n} x_{i}=(-1)^{n} \frac{a_{0}}{a_{n}}$

排列组合

$\begin{aligned} & C_m^n=\frac{m!}{n!(m-n)!} \\ \end{aligned}$

数列

求数列通项公式的十一种方法

不等式

$|x|-|y| \leqslant|x \pm y| \leqslant|x|+|y| \\ \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}\le\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$

调和均值≤几何均值≤算术均值≤平方均值
柯西不等式，琴生Jensen不等式

极坐标

$\begin{aligned} & r=2\cos\theta \\ \end{aligned}$

三余弦定理

直角三角形 $ABC$ 中，角 $B$ 是直角，$AB=1$，$BD$ 垂直于三角形 $ABC$，$\angle CAB=\alpha,\angle DAB=\beta,\angle DAC=\gamma$，那么

$\cos\gamma=\cos\alpha\cos\beta$

证明：$BC=\tan\alpha,BD=\tan\beta,CD^2=BC^2+BD^2=\tan^2\alpha+\tan^2\beta,AC=1/\cos\alpha,AD=1/\cos\beta$，

$\begin{aligned} \cos\gamma =& \frac{AD^2+AC^2-CD^2}{2AD\cdot AC} \\ =& \frac{\frac{1}{\cos^2\alpha}+\frac{1}{\cos^2\beta}-(\tan^2\alpha+\tan^2\beta)} {2\cdot\frac{1}{\cos\alpha}\cdot\frac{1}{\cos\beta}} \\ =& \frac{\cos^2\alpha+\cos^2\beta -(\sin^2\alpha\cos^2\beta+\sin^2\beta\cos^2\alpha)}{2\cos\alpha\cos\beta} \\ =& \frac{\cos^2\alpha+\cos^2\beta-((1-\cos^2\alpha)\cos^2\beta +(1-\cos^2\beta)\cos^2\alpha)}{2\cos\alpha\cos\beta} \\ =& \frac{\cos^2\alpha\cos^2\beta+\cos^2\beta\cos^2\alpha}{2\cos\alpha\cos\beta} \\ =& \cos\alpha\cos\beta \\ \end{aligned}$

其他

三角形外切圆半径

$R=\frac{abc}{4S}$